¿Más motivos para trabajar en cuerdas?

Yuri Milner, doctor en física y multimillonario, quiere pasar a la historia como en su momento hizo Alfred Nobel, gracias a un premio: “Fundamental Physics Prize.” El premio está dirigido a físicos teóricos y está dotado de 3 millones de dólares (sí, has leído bien, casi tres veces más que el Premio Nobel de Física); este año se han concedido 9 premios (sí, has leído bien, Milner ha regalado 27 millones de dólares a físicos teóricos). Cinco para famosos teóricos de cuerdas: Edward Witten, Nima Arkani-Hamed, Juan Maldacena, Nathan Seiberg y Ashoke Sen. Dos para famosos cosmólogos inflacionarios: Alan Guth y Andrei Linde. Un físico especialista en computación cuántica, Alexei Kitaev, y otro en física matemática, Maxim Konstevich. Ninguno de estos famosos 9 físicos teóricos necesita presentación y todos ellos ya deberían tener en su cuenta bancaria un ingreso de 3 millones de dólares. Los 9 han sido elegidos por Milner, que para eso paga. El próximo año los 9 premiados de este año serán los que elegirán a los nuevos galardonados. Si eres un físico teórico joven, ya sabes, a partir de ahora tienes un nuevo motivo para trabajar en teoría de cuerdas (pero, recuerda, le tienes que caer bien a Ed, Nima, Juan, Nathan y Ashoke, pues en sus manos está tu premio).

Obviamente, se ha hecho eco de esta noticia todo el mundo. Te recomiendo consultar Geoff Brumfiel, “Theoretical physicists win massive awards Billionaire’s prize to deep thinkers dwarfs others,” Nature News, 31 July 2012 [premiados]; Ian Sample, “Biggest science prize takes web tycoon from social networks to string theory. Yuri Milner awards make nine fundamental physics pioneers rich. But founder denies new prizes are Nobels 2.0,” The Guardian, 31 July 2012; y la voz crítica de Peter Woit, “Fundamental Physics Prize,” Not Even Wrong, July 31, 2012.

Por cierto, pronto habrá una página web donde tú mismo podrás nominar(te) (aunque los ganadores de este año tendrán la última palabra).

Entrevista a Edward Witten en Science sobre la física cuántica de los agujeros negros

El número de hoy de Science incluye un especial sobre agujeros negros con un artículo de Edward Witten, “Quantum Mechanics of Black Holes,” Science 337: 538-540, 3 August 2012 (entrevista en el Podcast), otro de Kip S. Thorne, “Classical Black Holes: The Nonlinear Dynamics of Curved Spacetime,” Science 337: 536-538, 3 August 2012, Rob Fender & Tomaso Belloni, “Stellar-Mass Black Holes and Ultraluminous X-ray Sources,” Science 337: 540-544, 3 August 2012, y M. Volonteri, “The Formation and Evolution of Massive Black Holes,” Science 337: 544-547, 3 August 2012.

En la entrevista y en su artículo Witten nos cuenta que “los agujeros negros son soluciones de las ecuaciones de Einstein de la gravedad para una estrella muy compacta, tan compacta que no puede escapar nada de ella, ni siquiera la luz. Los astrónomos han observado objetos muy compactos que tienen demasiada masa para su tamaño, que a día de hoy solo pueden ser agujeros negros.

“La mecánica cuántica es una teoría reversible, si es posible la transición entre un estado inicial |i> a un estado final |f>, entonces también es posible la transición opuesta entre un estado |f> a un estado |i>. Tiene que ser así para que las probabilides cuánticas sumen exactamente la unidad (técnicamente se dice que la evolución es unitaria, gracias a matrices unitarias que siempre son invertibles). A primera vista, esto implica que los agujeros negros no pueden ser descritos por la mecánica cuántica.”

“Sea B el estado macroscópico de un agujero negro y A cualquier cuerpo (una roca o un astronauta). Cuando el cuerpo cae en el agujero negro, éste incrementa su masa y pasa a un estado B*. La física clásica de los agujeros implica que el proceso A + B → B* es irreversible, lo que atraviesa el horizonte del agujero negro ya no puede volver a salir. Sin embargo, la mecánica cuántica requiere que pueda ocurrir la reacción inversa B* → A + B.” Witten nos dice que “la mecánica cuántica no permite que un objeto solo absorba, sin emitir, o que solo emita, sin absorber.” Esta dificultad se resolvió hace 40 años cuando Jacob Bekenstein tuvo una brillante idea que relacionaba los agujeros negros con la termodinámica y la mecánica estadística. Poco más tarde, Stephen Hawking descubrió la llamada radiación de Hawking de los agujeros negros.”

Para explicar estos conceptos, Witten recurre a un ejemplo de la vida cotidiana, “una taza de café caliente que se derrama por el suelo. En la práctica, nunca observamos que el agua salte del suelo y se vuelva a meter en la taza. Los físicos del siglo XIX introdujeron el concepto de entropía para describir este proceso termodinámico que no puede ocurrir. Ahora bien, la mecánica estadística nos explica la termodinámica y nos dice que este proceso puede ocurrir, aunque es muy poco probable en objetos macroscópicos y por eso no lo observamos. Pero si consideramos una sola molécula de agua es perfectamente posible que retorne a la taza, incluso si tomamos unos cientos de moléculas. Con los agujeros negros ocurre lo mismo, si un objeto macroscópico cae en su interior no puede volver a salir, pero cuando consideramos una sola partícula hay una probabilidad no nula de que vuelva a salir. La física de los agujeros negros es irreversible en el sentido de la termodinámica, pero no lo es en el sentido de la mecánica estadística. Por ello, los agujeros negros pueden emitir partículas (radiación) y el proceso B* → A* + B está permitido, aunque la radiación A* no está relacionada con el cuerpo A.”

“Observar la radiación de Hawking,” dice Witten, “es imposible en agujeros negros astronómicos porque están demasiado lejos y porque son demasiado grandes para emitir una radiación apreciable. Sin embargo, en la distribución de su temperatura del fondo cósmico de microondas, la radiación a casi 3 Kelvin de temperatura residuo del Big Bang, se han observado fluctuaciones que encajan en una teoría similar a la de la radiación de Hawking. Un agujero negro tiene un horizonte más allá del cual la luz no puede escapar y la expansión cósmica del universo presenta un horizonte a partir del cual ya no podemos observar nada más. Las fluctuaciones en la radiación cósmica de microondas se parecen mucho a lo que se esperaría observar si se emitieran fotones de Hawking en el horizonte cosmológico.”

“La entropía de todos los cuerpos depende de su volumen, sin embargo, en los agujeros negros es proporcional al área del horizonte. Para entender la termodinámica de los agujeros negros, a mediados de los 1980 se introdujo una teoría que suponía que el horizonte de sucesos es una membrana [1], pero fue imposible obtener su descripción microscópica (cuántica). Hasta mediados de los 1990 no se obtuvo una explicación cuántica (una mecánica estadística) para los agujeros negros que usaba la teoría de cuerdas y suponía que el horizonte de sucesos estaba formado por branas (cuyo nombre proviene de “mem-brana” pero que no tienen nada que ver con las anteriores). La mecánica estadística de los agujeros negros requiere la teoría de cuerdas.”

Witten nos cuenta también que los agujeros negros (cuánticos) tienen aplicaciones en otras áreas de la física. El físico argentino “Juan Maldacena descubrió en 1997 la dualidad gauge/gravedad, no solo las leyes de la mecánica cuántica permiten describir los agujeros negros, también estos últimos se pueden utilizar para entender las teorías gauge de la física de partículas.” Explicar qué es una teoría gauge es difícil y Witten se limita a afirmar que “el electromagnetismo (clásico) de Maxwell es una teoría gauge (clásica) y que los físicos durante el siglo XX lo que han hecho es aplicar esta fructífera idea a la formulación cuántica de las fuerzas electromagnética, débil y fuerte; todas las interacciones conocidas excepto la gravedad.” Me han sorprendido sus palabras al afirmar que “un lector de Science, lo único que tiene que saber sobre una teoría gauge es que se trata de una generalización de la teoría de Maxwell y que es un marco matemático en el que los físicos entendemos la física de partículas.”

Obviamente, no puede haber un artículo teórico en Science sin un “para qué.” Witten, como buen físico de cuerdas, recurre a las aplicaciones más recientes de la dualidad gauge/gravedad. “El Colisionador de Iones Pesados Relativistas (RHIC) ​​en el Laboratorio de Brookhaven en los Estados Unidos ha demostrado que un plasma de quark y gluones se comporta como un fluido ideal. Conocemos las ecuaciones matemáticas que lo describen, pero son muy díficiles de resolver y sus propiedades muy difíciles de entender. La dualidad gauge/gravedad permite estudiar el plasma de quarks y gluones en términos del horizonte de sucesos de un agujero negro [2]. Este fue el primer ejemplo de aplicación de la dualidad guage/gravedad que hoy en día se utiliza para comprender muchas áreas de la física donde las ecuaciones son muy difíciles de resolver, como en física de la materia condensada [3].”

En resumen, un buen artículo divulgativo de Edward Witten que, como buen teórico de cuerdas, lleva los peces del río a su propia red.

[1] K. S. Thorne, D. A. MacDonald, R. H. Price, Eds., “Black Holes: The Membrane Paradigm,” Yale Univ. Press, New Haven, CT 1986.

[2] P. K. Kovtun, D. T. Son, A. O. Starinets, “Viscosity in strongly interacting quantum field theories from black hole physics,” Phys. Rev. Lett. 94, 111601 (2005) [arXiv:hep-th/0405231].

[3] S. Sachdev, “What can gauge-gravity duality teach us about condensed matter physics?,” Annu. Rev. Cond. Matt. Phys. 3, 9 (2012) [arXiv:1108.1197].

Los libros del profesor Carlos Ivorra

Escribo esta entrada para recomendar, a toda la gente que guste de las matemáticas, unos buenos libros sobre varias ramas de las matemáticas que ha escrito de forma magistral el profesor Carlos Ivorra y que ha colgado en su web http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Libros.htm  para que podamos disfrutar de ellos de forma gratuita. Hay que decir que todos los libros son bastante autocontenidos. Ahora mismo estoy leyendo el de lógica de conjuntos, si alguien ya ha leído alguno le invito a que deje un comentario.

La transformación de Joukowski

Desde hace varios siglos, se descubrieron los números complejos en matemáticas, con los cuales se pudieron encontrar las soluciones a cualquier ecuación.
Esto surgió porque hasta entonces no se sabía cómo abordar las raíces de un número negativo, es decir, no se conocía (era imposible) encontrar un número a tal que su cuadrado fuera negativo:

lo cual aparecía de una manera clara en ecuaciones de segundo y tercer grado.
Para evitar este hecho se definió la cantidad

con la cual se pudo resolver dicho problema, ya que cuando se tenía una raíz de algo negativo, se podía sacar multiplicando la i, obteniendo simplemente una raíz de la misma cantidad, ahora positiva.

Aplicaciones concretas a la física

La ventaja matemática (analítica) era patente, y por eso mismo se terminó adoptando dichos “números”, lo cual creaba un nuevo conjunto (y que como suele suceder contenía a todos los anteriores) de números.
Pero, además de poder resolver dichas ecuaciones, pronto se vio que también facilitaba enormemente cálculos que, en un principio, no tenían nada que ver con los números complejos, y que hasta entonces se resolvían por el método clásico, de aquí la afirmación que se suele ver de ““la trayectoria más corta entre dos verdades en el dominio real pasa a través del dominio complejo”“, realizada por el matemático francés Hadamard.

Ahora comentaré un caso bastante simple que muestra cómo un problema físico bastante complicado se facilita enormemente gracias a los números complejos.

A principio del siglo XX se comenzó a volar, lo cual requería conocer cómo era afectado el aire por las alas, ya que éstas producían que el pájaro pudiese volar o no.
Sin embargo, este problema no es sencillo, debido tanto a la forma que tienen las alas como a que trabajamos con un fluído (el aire) que consta de un enorme número de partículas.

Sin embargo, el matemático Joukowski (o Zhoukowski) encontró una transformación, la cual recibió su nombre, en la cual, si tenemos una circunferencia (y en vez de definirla con números reales lo hacemos en el plano complejo: , donde se indica que el radio de dicha circunferencia es R.) y la aplicamos la transformación (que como se ve no es muy complicada):

obtenemos una forma… que nos recuerda mucho al perfil de una ala de avión (más parecida a la que había en los años 30 que en la actualidad claro). Así que, hemos obtenido un ala de avión a partir de una circunferencia, de forma fácil, ¿y ahora qué?.

Pues lo que más nos interesaría es ver cómo se comporta el aire al pasar por el borde del ala, y casualmente, este comportamiento se puede describir realizando dicha transformación como el comportamiento al pasar por la circunferencia, algo mucho más fácil matemáticamente.
Cabe destacar que esto sigue siendo válido siempre que consideremos al aire como un fluido no viscoso,incompresible e irrotacional (no viscoso más o menos todo el mundo se puede hacer una idea de qué significa, incompresible es que la distancia entre átomos sería la misma siempre, e irrotacional quiere decir que no produce rotaciones en los objetos, dicho rápidamente), algo que obviamente no se cumple de una forma precisa, pero como la mayor part ede la física, es una buena aproximación (estamos hablando de dicha época, ahora se requiere precisiones mucho mayores).

El logro fue que para explicar el efecto del aire sobre el ala, algo bastante complicado de tratar, se pudo recurrir a una transformación para trabajar en un plano complejo, con la cual se obtuvo que esto se reduce a un efecto sobre una simple circunferencia, algo mucho más tratable.

Stephen Wolfram, su buscador wolframalpha y su libro A new kind of science

Stephen Wolfram es un tipo conocido por ser el creador del software Mathematica (muy útil para todo aquél que trabaje con cálculos complejos y matemáticas por ordenador en general), pero además en 2009 creó su propio buscador alternativo a google y que se basa en el lenguaje semántico, es decir, que es capaz de reconocer frases del lenguaje humano para poder contestar directamente a tu pregunta mediante información de todo el mundo o en su defecto calcularla. La verdad es que lo he probado y funciona bastante bien, ofreciéndote sobretodo muchos datos numéricos, además es ideal para realizar cálculos online o dibujar funciones. La dirección es http://www.wolframalpha.com/. Probad-lo y ya me contaréis.

Por otro lado, también quería hablaros sobre su libro A new kind of science (Un nuevo tipo de ciencia), en el que trata sobre un nuevo método para hacer ciencia basado en los cálculos computacionales simples, que según él aúnan la abstracción y la experimentación. La verdad es que es un libro largo que ha recibido no pocas críticas en cuanto a su rigor matemático y el exceso de imágenes explicativas como sustitución. No obstante, no hay que olvidar que este tipo es un genio (http://es.wikipedia.org/wiki/Stephen_Wolfram) y que aunque sus ideas sean muy chocantes y difíciles de encuadrar en el marco científico actual, bien que podrían ser las primeras pinceladas sobre una nueva manera de entender la complejidad y por ende el universo que nos rodea.

Cuando vamos más rápido, llueve más?

Conduciendo un día de lluvia, ¿os ha dado la impresión de que en cuanto os poneis a conducir, se pone a llover con más fuerza? ¡Qué mala suerte! ¿Verdad?

Pues, hasta cierto punto, es cierto y falso a la vez. A intensidad de lluvia constante, es decir lloviendo lo mismo, en cuanto os pongáis a conducir ¡en el asiento del conductor siempre parece que llueva más!

¿Cómo puede ser?

EL PROBLEMA DE LA PATATA

El bachillerato español ha experimentado, en las cuatro últimas décadas, una evolución que puede quedar gráficamente reflejada en las diferentes formas de resolver un mismo problema matemático.

• Enseñanza 1960: Un campesino vende un saco de patatas por 1.000 pts. Sus gastos de producción se elevan a los 4/5 del precio de venta. ¿Cuál es su beneficio?

• Enseñanza tradicional 1970: Un campesino vende un saco de patatas por 1.000 pts. sus gastos de producción se elevan a los 4/5 del precio de venta, esto es, 800 pts. ¿Cuál es su beneficio ?

• Enseñanza moderna 1970 (LGE): Un campesino cambia un conjunto P de patatas por un conjunto M de monedas. El cardinal del conjunto M es igual a 1.000 pts., y cada elemento P de M vale una peseta. Dibuja 1.000 puntos gordos que representen los elementos del conjunto M. El conjunto F de los gastos de producción comprende 200 puntos gordos menos que el conjunto M. Representa el conjunto F como subconjunto del conjunto M y responde a la cuestión siguiente: ¿Cuál es el cardinal del conjunto B de los beneficios? Dibujar B en color rojo.

• Enseñanza renovada 1980: Un agricultor vende un saco de patatas por 1.000 pts. Los gastos de producción se elevan a 800 pts. y el beneficio es de 200 pts. Subraya la palabra “patata” y discute sobre ella con tu compañero.

• Enseñanza reformada (LODE): Un lavriego vurgués, capitalista insolidario, sanriquecio con 200 pts. al bender especulando un saco de patatas. Analiza el texto y deseguido di lo que piensas en este avuso antidemocratico.

• Enseñanza comprensiva 1990 (LOGSE): (*Educación comprensiva es aquella que ofrece las mismas experiencias educativas a todos los alumnos. El aprendizaje ha de asegurar que los conocimientos adquiridos en el aula puedan ser utilizados en las circunstancias en que el alumno vive y en las que puede llegar a necesitarlos). Tras la entrada de España en el Mercado Común, los agricultores no pueden fijar libremente el precio de venta de las patatas. Suponiendo que quieran vender un saco de patatas por 1.000 pts., haz una encuesta para poder determinar el volumen de la demanda potencial de patatas en nuestro país y la opinión sobre la calidad de nuestras patatas en relación con las importadas de otros países, y cómo se vería afectado todo el proceso de venta si los sindicatos del campo convocan una huelga general. Completa esta actividad analizando los elementos del problema, relacionando los elementos entre sí y buscando el principio de relación de esos elementos. Finalmente, haz un cuadro de doble entrada, indicando en horizontal, arriba, los nombres de los grupos citados y, abajo, en vertical, diferentes formas de cocinar las patatas.

• Ley Orgánica de “Calidad” en la Enseñanza (LOCE) 2003: Dios, en su infinita bondad, se apiada de unos pobres agricultores que asisten a misa todos los días y cumplen los preceptos de la Santa Iglesia y les bendice con una gran cosecha de patatas. Después de vender a un precio justo dejan parte de los beneficios en el cepillo. En el pueblo se venera a San Antonio y a San Isidro. Indica cuál de ambos crees que ha influido ante Dios para que la cosecha sea buena y luego reza un padrenuestro y dos avemarías para agradecer a Dios todas sus bondades.

• Con la LOGSE, la LOCE, y cualquier “LO… que sea” :

Profesor/a: Copiad: “Un agricultor vende un saco de patatas… ”

Alumno/a 1: ¡ Acho, tío ! El tronco ese es tonto… ¡ A quién se le ocurre vender patatas ahora ! Eso no mola.

Alumno 2 : ¡ Maeh’tro, ma’quitao el boli, ponle una amonestación !

Alumno 3 : ¡ Yo no he sio!

Alumno 4 : Yo no puedo hacerlo, ms’a olvidao la calculadora…

Alumna 5 :… ¿Pa ke keremos saber esas cuentas ? ¡no me sirbe pa ná… !

Alumno 6 : (Escribiendo en el móvil) ”  ) /$ # ;o) kedamos esta tard kon la play…” Profesor/a : ¡ Pedro, siéntate sobre las cuatro patas de la silla! ¡Noemí, deja de sujetar la pared con la espalda ! ¡Antonio, abre el libro ! ¡ Callaos de una vez !…

Alumno 7 : Profe, ¿Puedo ir al aseo?

El problema de Arquímedes y la corona

Mucha gente cree que fue imposible que Arquímedes resolviera el problema de la corona de oro del rey Hierón. Si el 30% de la corona era plata en lugar de oro, el nivel de agua en una tinaja se habría elevado menos de un milímetro, lo que parece difícil de medir en su época. Pero Arquímedes podría haber utilizado un “reloj de agua” (una vasija con un agujero en la parte superior cerca del borde) y una pequeña lengüeta que canalice el exceso de agua. Estas vasijas eran muy populares en su época y si el experimento se realiza con cuidado permiten una medida precisa comparada entre la densidad de dos objetos (como un lingote de oro y la corona de oro y plata de Hierón II). La mejor manera de verificar esta idea es hacerlo de forma práctica. Lo ha hecho Amelia Carolina Sparavigna, “The Vitruvius’ Tale of Archimedes and the Golden Crown,” ArXiv, 10 Aug 2011. Y también lo hizo Kuroki Hidetaka, “What did Archimedes find at ”Eureka” Moment?,” in The Genius of Archimedes – 23 Centuries of Influence, edited by S.A. Paipetis and M. Ceccarelli, Springer-Verlag, 2010, quien proclama que el uso de una pequeña lengueta en un reloj de agua permite una medida mucho más precisa de lo que un cálculo teórico permite prever. Por cierto, esta entrada viene a colación por una discusión al respecto de varios colaboradores de Amazings.es, que finalizó con una mención a la entrada de Milhaud, “Arquímedes y el problema de la corona de oro del rey Hierón,” Recuerdos de Pandora, 16 feb. 2011 (que incluso llegó a portada en Menéame). Yo apostillé a la discusión una solución alternativa y me ha alegrado leer a Sparavigna discutiendo la misma solución en ArXiv.

Te recuerdo la historia (copio a Milhaud en Recuerdos de Pandora). “En el siglo III a.C., el rey Hierón II gobernaba Siracusa. Siendo un rey ostentoso, pidió a un orfebre que le crease una hermosa corona de oro, para lo que le dio un lingote de oro puro. Una vez el orfebre hubo terminado, le entregó al rey su deseada corona. Entonces las dudas comenzaron a asaltarle. La corona pesaba lo mismo que un lingote de oro, pero ¿y si el orfebre había sustituido parte del oro de la corona por plata para engañarle? Ante la duda, el rey Hierón hizo llamar a Arquímedes, que vivía en aquel entonces en Siracusa. Un día, mientras tomaba un baño en una tina, Arquímedes se percató de que el agua subía cuando él se sumergía. Si sumergía la corona del rey en agua y medía la cantidad de agua desplazado podría conocer su volumen. Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles emocionado por su descubrimiento, y sin parar de gritar ¡Eureka! ¡Eureka! (…)Toda esta historia no aparece en ninguno de los libros de Arquímedes, sino que aparece por primera vez en “De architectura”, un libro deVitruvio escrito dos siglos después de la muerte de Arquímedes. Esto durante años ha hecho sospechar de la veracidad de los hechos, tomándose generalmente más como una leyenda popular que como un hecho histórico.”

La mayoría de la gente que cree que esta leyenda nunca ocurrió suele realizar el siguiente cálculo [una fuente muy citada]. Una corona de oro de 1 kg tiene un volumen de 51,8 cm³ (la densidad del oro es de 19,3 g/cm³). Si el 30% (300 gramos) del oro fue reemplazado por plata, cuya densidad es de 10,5 g/cm³, entonces el volumen crecería hasta 64,8 cm³. Una diferencia entre los volúmenes de 13 cm³ parece grande, pero si se utiliza una vasija con un diámetro de 20 cm, un lingote de oro de 1 kg subiría el nivel de agua 1,65 mm, pero la corona solo lo haría 2,06 mm. Una diferencia en el nivel del agua de solo 0,41 mm es demasiado pequeña para verla a vista (debido al menisco del agua). Sin embargo, Vitruvio afirmó que Arquímedes midió el exceso de agua que rebosó en la vasija. Controlar la cantidad de agua que rebosa por los bordes de una vasija, por ejemplo, de mármol, es difícil en extremo debido a que la tensión superficial hace que el agua que rebosa se deslice por las paredes de la vasija, como ilustra la imagen de arriba. Por cierto, seguramente el órfebre además de plata utilizó cobre (con una densidad de 8,9 g/cm³) para evitar que el color del oro cambiara mucho, por lo que el volumen desalojado sería algo mayor.

Obviamente, Arquímedes tuvo que utilizar otro método. Sparavigna nos propone que usó un reloj de agua o clépsidra, una vasija con un pequeño agujero cerca de la parte superior, como las de la foto que abre esta entrada. Las clépsidras ya existían en Egipto alrededor del s. XVI antes de Cristo. Para verificar su hipótesis, Sparavigna ha repetido el experimento con vasos de plástico transparentes (más casero imposible) y ha podido medir diferencias de pocos centímetros cúbicos de agua. Según ella, una diferencia de volumen de 10 cm³ podría haber sido medida por Arquímedes sin mayores problemas. Su método es el siguiente. Se tapa el agujero con el dedo, se rellena la vasija con suficiente agua y se introduce el lingote de oro de forma que el agua supere la altura del agujero; se destapa el agujero y se espera a que el agua salga por él hasta alcanzar un equilibrio. Se rellena ligeramente con agua, poco a poco, hasta que solo una gota salga por el agujero. Ahora se tapa el agujero de nuevo, se extrae con cuidado el lingote y se introduce la corona. Se espera a que el agua esté bien reposada y en equilibrio y se destapa el agujero. Si se derrama agua por el agujero es que el volumen de la corona es mayor que el del lingote porque su densidad es menor que la del oro. Conectando el agujero con un tubo capilar se puede medir el volumen de agua derramada. Los experimentos caseros de Sparavigna demuestran que medir 10 cm³ por este procedimiento es perfectamente posible.

A mí me gustan los experimentos de Kuroki Hidetaka. Para realizar una medida más precisa, el japonés propone que Arquímedes utilizó una pequeña lengueta colocada en el agujero de la vasija. Él ha repetido el experimento utilizando una vasija de plástico con una boca rectangular a la que ha añadido una lengüeta de unos pocos milímetros de anchura y unos 20 milímetros de longitud. Gracias a la lengüeta ha podido medir diferencias de volumen entre pares de objetos de solo unos 2 cm³, una precisión mucho mayor que la que se cree que necesitó Arquímedes en su época. Como antes, el líquido en exceso que abandona la vasija guiado por la lengüeta puede ser recogido en un tubo capilar donde las diferencias de volumen corresponden a grandes diferencias en altura. Los experimentos concretos, junto con las tablas de resultados, aparecen en su artículo. Creo que no merece la pena repetirlos aquí.

En resumen, Arquímedes pudo haber realizado el experimento de su Eureka, más o menos como lo describió Vitruvio si hubiera utiliado un reloj de agua con un pequeño canal metálico o una lengueta en el agujero de la vasija. Las habilidades técnicas demostradas por Arquímedes en muchos otros experimentos indican que hubiera sido capaz de realizar la medida que resolvió el problema de la corona de oro de Hierón sin mayores dificultades.


Fuente: http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/08/12/como-resolvio-arquimedes-el-problema-de-la-corona-de-oro-de-hieron-usando-un-reloj-de-agua-y-una-lengueta/