La transformación de Joukowski

Desde hace varios siglos, se descubrieron los números complejos en matemáticas, con los cuales se pudieron encontrar las soluciones a cualquier ecuación.
Esto surgió porque hasta entonces no se sabía cómo abordar las raíces de un número negativo, es decir, no se conocía (era imposible) encontrar un número a tal que su cuadrado fuera negativo:

lo cual aparecía de una manera clara en ecuaciones de segundo y tercer grado.
Para evitar este hecho se definió la cantidad

con la cual se pudo resolver dicho problema, ya que cuando se tenía una raíz de algo negativo, se podía sacar multiplicando la i, obteniendo simplemente una raíz de la misma cantidad, ahora positiva.

Aplicaciones concretas a la física

La ventaja matemática (analítica) era patente, y por eso mismo se terminó adoptando dichos “números”, lo cual creaba un nuevo conjunto (y que como suele suceder contenía a todos los anteriores) de números.
Pero, además de poder resolver dichas ecuaciones, pronto se vio que también facilitaba enormemente cálculos que, en un principio, no tenían nada que ver con los números complejos, y que hasta entonces se resolvían por el método clásico, de aquí la afirmación que se suele ver de ““la trayectoria más corta entre dos verdades en el dominio real pasa a través del dominio complejo”“, realizada por el matemático francés Hadamard.

Ahora comentaré un caso bastante simple que muestra cómo un problema físico bastante complicado se facilita enormemente gracias a los números complejos.

A principio del siglo XX se comenzó a volar, lo cual requería conocer cómo era afectado el aire por las alas, ya que éstas producían que el pájaro pudiese volar o no.
Sin embargo, este problema no es sencillo, debido tanto a la forma que tienen las alas como a que trabajamos con un fluído (el aire) que consta de un enorme número de partículas.

Sin embargo, el matemático Joukowski (o Zhoukowski) encontró una transformación, la cual recibió su nombre, en la cual, si tenemos una circunferencia (y en vez de definirla con números reales lo hacemos en el plano complejo: , donde se indica que el radio de dicha circunferencia es R.) y la aplicamos la transformación (que como se ve no es muy complicada):

obtenemos una forma… que nos recuerda mucho al perfil de una ala de avión (más parecida a la que había en los años 30 que en la actualidad claro). Así que, hemos obtenido un ala de avión a partir de una circunferencia, de forma fácil, ¿y ahora qué?.

Pues lo que más nos interesaría es ver cómo se comporta el aire al pasar por el borde del ala, y casualmente, este comportamiento se puede describir realizando dicha transformación como el comportamiento al pasar por la circunferencia, algo mucho más fácil matemáticamente.
Cabe destacar que esto sigue siendo válido siempre que consideremos al aire como un fluido no viscoso,incompresible e irrotacional (no viscoso más o menos todo el mundo se puede hacer una idea de qué significa, incompresible es que la distancia entre átomos sería la misma siempre, e irrotacional quiere decir que no produce rotaciones en los objetos, dicho rápidamente), algo que obviamente no se cumple de una forma precisa, pero como la mayor part ede la física, es una buena aproximación (estamos hablando de dicha época, ahora se requiere precisiones mucho mayores).

El logro fue que para explicar el efecto del aire sobre el ala, algo bastante complicado de tratar, se pudo recurrir a una transformación para trabajar en un plano complejo, con la cual se obtuvo que esto se reduce a un efecto sobre una simple circunferencia, algo mucho más tratable.